理论与实践的结合 三国杀的经济学分析【2】

九州清晏

　上篇文章中，我们主要讨论了三国杀牌堆与手牌的选择性问题，这次的主要话题是玩家与玩家的互动，用经济学语言说，这叫博弈论。

　　既然三国杀是不完全信息动态博弈，抽象成模型后其核心无外乎“不完全信息”与“动态”，不完全信息体现在对方手牌只有对方知道，动态则体现在双方的行动是贯序的，如A先考虑向不向B出杀，然后B再考虑出不出闪。根据由浅入深的原则，我们将首先讨论存在占优策略的情况和存在纯策略均衡的情况，然后讨论需要混合策略的情况，并简单提及所谓的贯序均衡。为方便大家阅读，我与三国杀直接相关的部分加了下划线(上一篇也加了)，对博弈论不感兴趣的童鞋可以直接跳过其他部分。

　　一、存在占优策略

　　所谓占优策略，即无论对方采用何种策略，对于自己而言有某个策略一直是最优的。如果我们自己有某个占优策略，那么没啥好讨论的，执行就是了。但这里必须指出的是，在任何情况下都占优的策略实际并不多见，即使我们平时一些习以为常的、当做锁定技一直发动的技能也有不占优的时候，虽然很少见。比如当对方有张角时，甄姬洛神、判八卦都会给对方额外的机会;陆逊不小心穿藤甲，发现对方有小诸葛，适当的时候可以放弃连营;我方有2人以上，且均无手牌，对方有张辽时，郭嘉掉血甚至可以考虑不摸牌;有鲁肃在场，张辽即使有2人可突也可以考虑只突1人，以控制手牌数量。

　　但是，如果是对方有占优策略呢?那么我们就要引入一个重要概念，逆向反推(backwardinduction)。也就是说，当对方最后一个阶段存在占优策略时，我们应该预见下一步他一定会这么做，那么，当我们自己处于倒数第二期决策时，就应该考虑到这点。举个例子，很多人常犯的一个错误是，对方有张辽，自己1血被乐，弃牌留桃。错在哪?无论你手上是什么牌，哪怕故意留了张烂牌，在大多数情况下，张辽的占优策略就是把那张牌突走，那么在留牌时就应该考虑到这一点，有桃也是一定弃掉的。

　　关于backwardinduction，这里提两个有意思的实战案例。

　　第一个案例是我们六人组的“张飞三杀”。对于目前大多数有一定经验的三国杀玩家，面对对方装连弩或是张飞，我们一般都会留最后一张闪防酒杀，然后看看我们lby同学如何利用这一点(这里必须申明，这个策略本身是非常正确的)。反贼夏侯与另一反贼相连，忠张飞土杀夏侯，夏侯掉血刚烈，张飞第二张雷杀，夏侯闪，然后第三张酒雷杀，夏侯懵了…

　　第二个案例是我online上与人单挑，我孙尚香满装备，对方许褚2血，有一些装备，够强中。许褚上一回合没动，我猜测他有杀，等下一回合裸衣，我开五谷，一借刀一贯石，自然我拿了贯石。这时我手上有一张杀，我推想，如果我装贯石斧，直接弃牌过，对方要是认为我水平不行的话，会判断我手上没杀，那么他的策略就是裸衣借刀强中，而且根据之前的交手，对方水平还行，可以做出一阶段的逆推。于是我直接弃闪过，不出所料，下一回合，裸衣!借刀!杀…许褚懵了…

　　二、存在纯策略均衡

　　相比于存在占优均衡的情况，稍微复杂的一点的是，尽管双方都没有占优策略，但双方给定对方的策略，自己的策略是最优的(经济学经常举的例子就是battleofsex，足球芭蕾神马的…)，比如，双方都可以选A和B，只要双方选一样就有较高收益，不一样收益就低，那么(A,A)和(B,B)就是两个纯策略均衡，尽管A和B都不是占优策略。这种情况大多出现在队友的配合中。比如，队友借我刀杀对方，他是希望我出杀呢还是要刀?更直接的例子是要不要杀自己波的张角。即使不去计算收益矩阵，commonsense也告诉我们这时候混合策略要不得，尽管理论上这确实是个均衡…那么问题在于，如何达到纯策略均衡?

　　一种方法是借助信息，当然，我们这里不考虑天眼神技，典型的例子是张角通过弃闪、换牌来告诉队友自己有明闪。有时，火攻也是可以用来传递信息的，比如1号位主公曹操，2号位残血忠臣，主公可以先通过火攻看看手牌是什么，然后决定是否放AOE。另外，鲁肃在没有合适的敌我交换手牌的机会时，可以考虑互通自家人手牌，这样就增加了本方的信息量。另一种方法是创造占优策略，比如，如果我借本方刀目的是要武器，那何不借本方刀杀自己?因为这时候出杀被dominated了，所以队友自然会把武器给过来。当然，前提是身份已经非常明确，不会引起误解。

　　三、混合策略解

　　好，这是今晚的重头戏，混合策略。在开始讨论三国杀前，先提一个重要的经济学定理：纳什均衡的存在性。简单的说，对于一个NormalForm而言，如果我们允许混合策略存在(比如以50%概率执行A，50%概率执行B)，那么至少存在一个纳什均衡。这个定理看似跟三国杀搭不上边，却能得出一些简单而有用的结论。

　　我们考虑这样一个情形，甄姬上家诸葛，一般情况下，甄姬会被诸葛压得很惨，但事实上，通过使用正确的混合策略，甄姬还是能大幅度提升自己的收益的。这里我们使用纳什均衡存在定理，我们首先考虑，纯策略均衡存在么?简单起见，我们假定诸葛观星中红牌质量比黑牌质量好，诸葛的策略是要不要把较好的红牌放第三张;甄姬的策略则是是否洛神。如果我们给定诸葛会把红牌放第三张，那么甄姬的策略是什么?不洛神!那么给定甄姬不洛神呢?诸葛应该在第三张黑牌。那么给定第三张是黑牌呢?甄姬又应该洛神…给定洛神诸葛又应该放红牌…由此可见，这个game是没有纯策略均衡的，甄姬一直洛神和一直不洛神都会被完全压制。

　　既然没有纯策略均衡，纳什均衡定理告诉我们，一定存在一个混合策略均衡，即甄姬应该一会儿洛神一会儿不洛神。我们可以直观地理解为什么这会打乱诸葛的部署，因为洛神不洛神诸葛最优放牌顺序是不同的，而诸葛在观星是无法知道甄姬是否洛神，因为——还没轮到甄姬动呢!当然这里我无意也没有办法给出精确的甄姬洛神概率，只是想提供这一思想，对于实战的意义在于，有时甄姬突然不洛神一下，可能会有惊喜。有次OL上我甄姬突然不洛神，收获方片决斗一枚，从而改变战局的经历。

　　不过，这个game还算容易分析，将博弈发挥到至高境界的武将莫过于于吉(只关心三国杀的童鞋可以跳过这一段了，这完全是吐槽于吉跟sequentialequilibrium…)。与简单的混合策略不同，这里于吉不是简单的说真话说假话，对方信与不信的问题，在这之前于吉有很重要的一步：是否把牌扣下来。不要小看这一步，做博弈论题目的时候把这一步加进去瞬间就使题目难度大增，为什么?于吉说真话说假话，对方是观察不到的，但于吉扣牌与否确是可以观察到的!用术语说，于吉扣牌这个动作叫signal(严格地说，甄姬洛神的例子也有一个signal，诸葛在牌堆放几张牌，也就是说，严格考虑的话，诸葛观星后在牌堆放3、4、5张牌时甄姬洛神的概率应该是不一样的)。并且特别注意，于吉扣一张牌，声称是“桃”，这样牌是否是桃的概率和牌堆里桃的概率是完全不一样的，对方在决策时要根据自己的belief，此外，这个belief还要依据贝叶斯法则更新…所以，要我说，用于吉的时候还是本着娱乐为本的精神，不要追求过多细节。要真说有博弈论对于吉有什么简单的指导的话，那就是，永远说真话/永远说假话/永远信/永远不信，都不是均衡(好像是句废话...==)，跟上面甄姬的例子类似地想一下就明白了。

　　最后我想说的是，博弈研究的目的是得出一个策略，而策略的执行者说到底是“人”，现实中的人不能简单抽象为完全的理性人，是会犯错的，是会有shock的，是会有tremblinghand的。而且，三国杀说到底，最主要的目的还是娱乐，还是开心，技术固然重要，但shock往往才能逗大家开心(仅指面杀，OL估计要被爆粗口了…)，制造更多的效用。

fthmo1983

呵呵。。。这不错，，有意思