孙、刘博弈荆州
一、枪手决斗，共同抗曹在讨论荆州问题前，我们先看一个博弈游戏：
假设三个枪手相约决斗，谁能生存下来谁就是最终的赢家。甲十发八中命中率80%，乙十发六中命中率60%，丙十发四中命中率40%。你认为谁生存下来的几率最大呢？如果你认为是甲，那么答案一定会让你大吃一惊，因为生还几率最大的是丙，那个枪法最差的家伙。
在决斗中甲肯定会把枪口对准乙，先解决最有威胁的一个。乙出于同样的考虑，当然会先解决甲。而丙同样也会把子弹射向最有威胁的甲。所以第一轮下来不会有子弹射向丙，他生存下来的概率为100%，甲的生存概率是40%*60%=24%，乙生存的概率是100%-80%=20%。很有可能在第一轮结束后丙就获得了胜利。
这个故事告诉我们，在多人博弈中产生的结果往往会出人意料。一方获胜并不仅仅取决于它的实力，更取决于因为实力对比所造成的复杂关系。
看完枪手决斗的例子后，我们回到三国时代。
建安十三年，曹操平定北方后南下，从此也就拉开了孙、曹、刘三方在荆州博弈的序幕。荆州刘琮不战而降，刘备在逃亡中被曹操击败退守江夏。
曹操为了阻止刘备与孙权结盟便派人给孙权送了一封信“近者奉辞伐罪，旄麾南指，刘琮束手。今治水军八十万众，方与将军会猎於吴。”（《江表传》）
这是曹操犯的一个错误，他本不应该在给孙权的书信中对其恐吓。这封信在字里行间透露出来的威胁虽然吓倒了当时孙权身边的谋士，却将孙权推向了刘备这一方。刘备方面也深知光凭自己一定对付不了曹操，在刘备等人到达夏口后立即派出诸葛亮出使江东。最终，在周瑜、鲁肃、诸葛亮等人的努力下，一个枪手决斗的模型形成了。三方实力对比，曹操最强，孙权次之，刘备最弱。他们分别扮演的枪手甲、乙、丙的角色。孙、刘联盟无疑是成功的，他们在赤壁之战中大胜曹操
“瑜、普为左右督，各领万人，与备俱进，遇於赤壁，大破曹公军。公烧其馀船引退，士卒饥疫，死者大半。备、瑜等复追至南郡，曹公遂北还，”（《吴主传》）
但枪手决斗毕竟是个博弈模型，赤壁之战的胜利并不能保证曹操势力瓦解。由于曹操这一威胁长期存在，孙权和刘备就有长期合作的必要。基于这一点孙、刘两家继续联盟就是顺理成章的事情。
在枪手博弈中，甲是乙的头号敌人，因此甲一定会首先攻击乙。而对于乙来讲，甲同样是他的头号敌人，他不可能首先去对付丙。乙与丙有一个共同的目标甲，在表面上双方达成了一种同盟的关系。但这种同盟是及不稳固的，由于甲一定会攻击乙，所以乙是这个同盟的忠实执行者，而丙没有来自甲和乙两方面的压力，只要有利可图他便随时可能出卖乙来换取自己对甲的先手之利。
所以赤壁之战后孙权对巩固联盟不遗余力，不但“进妹固好”（《先主传》）而且将南郡出让给刘备，增加其实力。
曹操在重整旗鼓后首先攻打的是孙权这个枪手乙：
“十八年春正月，进军濡须口，攻破权江西营，获权都督公孙阳，乃引军还。”（《武帝纪》）
在曹操攻打孙权的时候刘备忙于扩充自己的势力，不但没有对孙权施以援手，反而以此为理由趁机向刘璋宣战。站在同盟的立场，刘备这么做就是没有履行义务。让孙权独自对抗曹操也就意味着把孙权送上危险的境地。这是由于处境不同而导致决策的差异，孙权是曹操的头号敌人，因此曹操一定会攻打他，刘备则趁此机会发展壮大。
当刘备入主益州并在汉中击败曹操后，形势发生了变化。在三国实力对比中刘备取代了孙权扮演起枪手乙的角色，孙权变成了枪手丙。由于枪手乙和枪手丙的角色发生了互换，双方的决策也发生了变化。想要积极消灭曹操的就不再是孙权而是刘备，此时，孙权则扮演起原来刘备这个随时可以为利益出卖盟友的角色。这种变化很微妙，也为孙、刘联盟最终破裂埋下了伏笔。
二、帕累托效率与孙刘联盟的破裂
首先我们要引入两个是以意大利经济学家帕累托的名字命名的概念：帕累托优势与帕累托效率。
什么是帕累托优势？什么又是帕累托效率呢？
打个简单的比方：假设有A、B两人，两个人分别做同一样工作时收益为分别为4，若两人合作，每人收益都为10（假设平均分配）。很显然，这两人合作所得利益要大于两人单独行动所得，我们就称两人合作所得（10，10）相对两人单独行动所的（4，4）具有帕累托优势。（10，10）是一个理想状态下的结果，在实际生活中由于种种原因（资源、地理、能力、运气等等）两人合作所得并不一定是平均分配，有可能出现（14，6）或者（15，5）等情况。但无论如何分配，只要合作两方的所得收益都大于两人单独行动所得收益4，两人就有合作下去的动机。所以4就是两人合作，也就是帕累托优势的临界点。我们称（16，4）这个状态为帕累托效率，一旦有一方的收益低于4，虽然两人合作的总10+10仍然大于两人单独行动的总量4+4，但双方合作却是以损害一方利益作为代价的，因此合作就无法进行下去。
因此可以得出一个结论：帕累托优势不在于总量增加的多少，关键在于每个人都从中得到改善。
我们用这一观点去考察孙刘联盟：在赤壁之战后，刘备占领荆南、孙权攻取南郡。在孙权出让南郡后，刘备又得到了益州和汉中、孙权则将势力拓展到交州。在这一系列扩张过程中双方都有利可图，因此孙、刘联盟尚可以维持。但在孙权占领交州之后，东、南两面临海已经没有再发展的余地，西方则是刘备的地盘，因此孙权只有北进这一条路。孙权曾多次试图在合肥打开一个突破口，但却屡屡无功而返。
“辽被甲持戟，先登陷陈，杀数十人，斩二将，大呼自名，冲垒入，至权麾下。权大惊，众不知所为，走登高冢，以长戟自守。”（《张辽传》）
“合肥未下，彻军还。兵皆就路，权与凌统、甘宁等在津北为魏将张辽所袭，统等以死扞权，权乘骏马越津桥得去。”《吴主传》
这就是张辽威震逍遥津的故事。
孙权与曹操在淮南交战的过程中失去了了陈武、董袭、公孙阳等将领却占不得半点便宜。此时，孙权面临这样一个情况，北进无法突破合肥，甚至由于损兵折将。而刘备则不然，在孙权与曹操激战的同时他的实力突飞猛进般的增长。
帕累托优势讲的是共赢，所谓“大家好才是真好”但在孙、刘联盟中，双方方收益分配比率已经降到帕累托效率之下，因此孙权再也没有与刘备合作下去的动机。这就是孙、刘联盟的破裂的根本原因。
三、荆州局势的纳什均衡
在荆州的归属上，孙、刘两家各有自己的打算。孙权想完全占有荆州，而刘备对其既得利益寸步不让。似乎双方的矛盾是不可调和的，其实不然。只要我们引入纳什均衡这一概念就能找到一个双方都能接受的方案。在纳什均衡中，所有参与者都面临同一种情况：在其他人不改变策略的状况下，他此时的策略是最好的。这个纳什均衡在三国史上是实实在在存在的，这就是“中分湘水”的协约。这件事发生在建安二十年，双方经过一系列的边境摩擦和讨价还价终于达成达成的条约：
1、“割湘水为界”（《鲁肃传》）
2、“分荆州、江夏、长沙、桂阳东属，南郡、零陵、武陵西属，”（《先主传》）
这是一个双方都可以接受的结果，也是荆州问题上的一个纳什均衡点。因此在此之后，孙权、刘备各自调转矛头，再一次共同对付曹操。
首先承受压力的是孙权一方：“二十一年冬，曹公次于居巢，遂攻濡须。”（《吴主传》）
这次双方对峙并未发生冲突，在相互都没找到破绽的情况下便各自收兵了。
在这此之后刘备于西线也发动了对曹操的进攻，这就是刘备指挥的汉中战役和关羽指挥的襄樊战役。汉中战役没有任何问题，刘备方面的错误在于发动了襄樊战役。在纳什均衡中，所谓“策略是最好的”则意味着如果一方贸然改变策略，他的支付（所的利益）将会降低。如前所述，在荆州问题上孙、刘两家已形成一个稳定的纳什均衡，任何一方首先做出改变都会导致他的策略不是最优，而使得整体利益受损。关羽在建安二十四年发动的襄樊战役就是这么一个例子，虽然在表面上关羽获得了辉煌的胜利，但是由于违背了最优策略的关系，便注定了刘备集团丢失荆州的结局。
四、骑虎难下的彝陵之战
关羽丢失荆州使得孙、刘实力对比再度发生变化，但这种变化是不明显的。刘备在入川的战役中诸葛亮等人带领荆州守军入川支援
“诸葛亮、张飞、赵云等将兵溯流定白帝、江州、江阳，惟关羽留镇荆州。”（《先主传》）
而刘备集中益州的兵力可以在汉中打败曹操
“先主敛众拒险，终不交锋，积月不拔，亡者日多。夏，曹公果引军还，先主遂有汉中。”
所以刘备集团丢失荆州所受的损失虽然严重，但还不至完全丧失与曹操一较高下的能力。此时刘备面临两种决策，攻击曹操还是攻击孙权。
荆州是刘备集团腾飞的起点，刘备集团诸多骨干人物又都来自荆州。在刘备的整体战略中，荆州是很重要的一环
“天下有变，则命一上将将荆州之军以向宛、洛”（《诸葛亮传》）
荆州的丢失不但意味着刘备集团在经济上大受损失，而且隆中对里提出的钳形攻势也化为泡影。而攻打荆州意味着进一步削弱孙、刘两家的实力，使得曹操有机可乘。刘备陷入了一个两难的抉择。
这也是我们经常碰到的一种状况，行动者进也不是，退也不是。我们将这样的博弈称为骑虎难下。
有一个拍卖，其规则是：轮流出价，谁出得最高，谁就将得到该物品，但是出价少的人不仅得不到该物品，并且要按他所叫的价付给拍卖方。
假定有两人竞价争夺价值100元的物品，只要双方开始叫价，在这个博弈中双方就进入了骑虎难下的状态。因为，每个人都这样想，如果我退出，我将失去我出的钱，若不退出，我将有可能得到这价值100元的物品，但是，随着出价的增加，他的损失也可能越大。每个人面临着两难：是继续叫价还是退出？
也许你会说这个拍卖的规则不合理，在实际中这样的拍卖不会出现。当然这只是一个模型，但我们经常会看到此类型的博弈案例。这个博弈有一个纳付均衡：第一个出价人叫出100元的竞标价，另外一个人不出价，出价100元的参与人得到该物品。
无论孙权、刘备在荆州问题上都面临这一问题，如果让对方占有荆州，则本方在荆州的投入均变成损失，这一点双方都不肯接受，于是彝陵之战成为了最终解决问题的手段。
“蜀军分据险地，前后五十馀营，逊随轻重以兵应拒，自正月至闰月，大破之，临陈所斩及投兵降首数万人。刘备奔走，仅以身免。（《吴主传》）
彝陵之战失败使刘备元气大伤，彻底沦为枪手丙的角色。曹魏的战略也因此调整为主攻孙权
“秋九月，魏乃命曹休、张辽、臧霸出洞口，曹仁出濡须，曹真、夏侯尚、张郃、徐晃围南郡。”（《吴主传》）
在与曹丕交战的同时孙权在不愿再与刘备发生摩擦，于是首先派出使者向刘备示好，刘备在需要休养生息的前提下与孙权初步达成和解，
“孙权闻先主住白帝，甚惧，遣使请和。先主许之，遣太中大夫宗玮报命。”（《先主传》）
孙、刘围绕荆州的博弈至此告一段落。
五、寻找最佳策略
也许没有什么比丢失荆州更让蜀汉的拥护者们感到惋惜的了。因为在丢荆州之前，蜀汉的实力是其历史上最强的，但这种实力的增强有一部分是关羽错误决策所致。既然关羽北伐荆州的决策是错误的，那什么又是刘备方的最佳策略呢？
答案很简单，采取最优策略。即：在荆州采取守势，避开在荆州改变策略而导致有可能的损失，全力争夺关中，这是因为在关中曹操与刘备的博弈是一个零和游戏，非此即彼，远比荆州局势的简单。
孙权北进受阻，取得荆州是扩充实力的唯一出路。但是这一举动却使曹操从中渔利，此后孙、刘两家再也没有能力打败曹魏了，对于刘备这也当然是非常遗憾的事情。但孙权枪手丙的角色并不要求他非要杀死枪手甲，枪手丙首先考虑的是自保。毕竟无论枪手甲、乙谁能生还，都要和丙一较高下，此时枪手丙在决斗中失败的几率仍是最高的。对于孙权来讲，保持一个三国鼎立的局势反而是他的最优策略。
三国博弈是一个最简单的多人博弈模型。作为博弈的任何一方，他们需要考虑的不仅仅是自己及对方的决策，还有第三方决策的影响。博弈者只有通观全局才能在这场游戏中获得最大的利益。三国时期始终缺乏一个能掌握全局的战略家，这大概是三国鼎立的最终根源。
这文章说的道理虽然大家都懂，不过能把事实与模型结合起来，还是很厉害的。
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