三国杀部分概率问题 数学建模分析
本帖最后由 九州清晏 于 2011-8-24 12:30 编辑今天概率论课上，老师讲到几何分布时一时找不到好的例子，站在讲台上发楞，而我却沉浸在了一段美好的回忆之中。那是灵山脚下的一个月黑风高的夜晚，我作为甄姬独斗主公，就在阴谋已败，满血主公看着红血的我抚掌而笑的时候，我发动了洛神，于是牌局上出现了如下序列：黑的，黑的，黑的，黑的，黑的……主公在一声高过一声的惊呼中含恨而终。带着对甄姬的景仰，我尝试着计算了一下甄姬洛神的期望，发现结果竟然与预想的不一样，于是我又对其他RP型英雄进行了分析，然后就有了这篇水文。
1.甄姬与周瑜的比较
甄姬 薄幸的美人
洛神：回合开始阶段,可进行主动判定,若判定结果为黑色花色,视为判定成功,则将该判定牌收归手牌,并可以继续判定;若结果为红色花色,视为判定失败,技能终止.可以不断的判定直到不愿意继续或判定的结果变为红色为止.
周瑜 大都督
英姿：摸牌阶段摸三张牌
公瑾的技能一目了然，多摸一张牌，而甄姬就要罗嗦的多，概括起来就是除了本来那两张以外，还可以一直摸直到摸到红的为止。我们见过一直被红牌憋死的甄姬，也见过黑牌如雨犹如神助的甄姬。为了搞清楚甄姬的技能到底有多大价值，我们来计算一下甄姬额外摸牌数量的期望。
由概率论的知识可以知道，甄姬摸牌张数X是服从几何分布的离散随机变量，其中参数p为1/2。用a表示甄姬额外摸牌数量的期望，则有
这个数列的求和很简单
这说明甄姬洛神的期望为1，与周瑜确定的1张相等（之前我觉得甄姬的期望会小一些），单从期望值来看，两者没有什么区别。但是考虑到三国杀特有的性质，尤其是诸葛连弩等设备的存在性，牌多的时候威力增加得非常之快，玩家存在着一种风险追求的心理，于是有
性质1.
一般情况下，手牌的效用函数u关于手牌张数x是单调递增的凸函数。
用凸函数的性质我们不难证明，甄姬的技能造成的手牌效用大于周瑜的效用，也就是说，一般情况下，如果只比较洛神和英姿两个技能，前者是占优的。
2.更加招恨的月英姐
黄月英 归隐的侠女
集智：当她使用一张锦囊牌后，立即从牌堆顶摸一张牌加入手牌。
相信大家都有看着黄月英打单机看到睡着的经历，有了上面的结果，我们可以也尝试着计算一下黄月英的期望。由于锦囊里无中生有是非常引人注目的，我们将这个问题单独拿出来讨论。首先，为了简化计算，我们做如下假设：
假设1.摸牌的过程是无放回抽签模型。这就是说，任何时候，从牌堆上方摸到某一种牌*的可能性p*就是这种
牌的张数在总张数里占的比例。这不仅是对于自己摸牌的阶段来说，也忽略了别人手中有你要的牌的可能。在甄姬的讨论中，我们已经用到了这一假设。这一假设引
起的误差是很小的。事实上，计算所得的期望一般很小，在1左右，所以摸到很多张同种牌的概率很小，与我们的假设符合。
我们首先讨论无中生有对于一般玩家的影响。
用p*表示某次摸牌摸到无中生有的概率，有p*=a*/s,
a*是无中生有的张数，s是总张数，在某次无中生有摸到的两张牌中至少有一张无中生有的概率是1-(1-p*)×(1-p*)，由于p*很小，尽似取为
2p*。实际情况a*=4,s=109,p*=0.037.
定义n次无中生有的牌中还有无中生有的情况为n+1阶无中生有，于是从上面的推理中我们得到：
性质2.
高阶无中生有可以忽略。
下面我们开始计算黄月英附加摸牌张数的期望a。在这里也要做一个假设，黄月英会将所有能用掉的锦囊用掉，同时忽略所有五谷丰登的影响（太崩溃了）。首先计算使用一张锦囊后集智带来的额外张数b。用p表示黄月英下一张摸到非延时锦囊的概率（不包括无中生有）。根据类似几何分布的性质，我们可以得到关系：
b=1+p×b+p*×(3+3b)
解出b得：
b=(1+3p*)/(1-p-3p*)
游戏中，p=18/109=0.165.按计算器得b=1.53.
由此我们可以开始计算a.（这是一个综合考虑一般锦囊和无中生有的浩大工程...）
a=p×p×2b+2p×b+p*×p*×2(2+b)+2p*×(2+b)-2p×p*(2+2b)
=0.798
计算结果令人惊讶，黄月英的期望值并不像想象的那么高，仅为0.798！相比之下，还不如周瑜和貂蝉的确定1张，甄姬的平均1张。关于这个问题，我们可以通过性质1给出解释。从b>1可以发现，黄月英一旦摸到一张锦囊，潜力是很足的，而且黄月英在第一轮六张手牌时是极其KB的。黄月英用较低的平均值换取了更高的风险，也就是爆发力。 这贴给力啊！！！ 技术贴 不过甄姬期望值真的没有到1，离散随机变量不是一直是0.5，每摸一张黑的几率都会变。 这贴真给力
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